数列{an} 的 通项公式an=1/(1+2+3+...+n) ，则前n项和 sn是多少？

an=1/(1+2+3+...+n)
=1/[n(n+1)/2]
=2/n-2/(n+1)

Sn=(2/1-2/2)+(2/2-2/3)+(2/3-2/4)+(2/4-2/5)+...+(2/n-2/(n+2))
=2/1-2/(n+1)
=2n/(n+1)

an=1/(1+2+...n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
故Sn=2[1/1-1/2 +1/2-1/3 +...+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)

因为an=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
所以sn=2[1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)]=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)

先做简单变形an=2/n(n+1)=2（1/n-1/(n+1)），然后各项相加，裂项相消，易得sn=2（1/1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/(n+1)）=2（1-1/(n+1)）=2/(n+1)。数列求和中经常用到这种裂项相消法